1. 기하학적 상사(Geometric Similarity)의 정의
어떤 형태의 수차와 기하학적으로 닮은 형태의 축소 모형을 만들었을 때, 대응하는 부분의 치수 비가 일정하여 동일한 특성을 지닌다고 보는 관계이다.
2. 비속도($N_s$) 유도
기하학적 상사를 가정한 수차가 단위 낙차($1\text{m}$)에서 단위 출력($1\text{kW}$)을 내기 위한 회전수를 비속도라 정의하며, 다음 물리 법칙을 활용하여 유도한다.
1) 토리첼리의 정리 (Torricelli’s Theorem)
수차 노즐 또는 안내날개를 통과하는 물의 속도($v$)는 유효낙차($H$)의 제곱근에 비례한다.
$$v = \sqrt{2gh} \implies \frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^{1/2}$$
2) 연속의 정리 (Equation of Continuity)
수차를 통과하는 유량($Q$)은 유속($v$)과 통로의 단면적($A$)의 곱으로 일정하다. 단면적은 치수(반경 $R$)의 제곱에 비례한다($A \propto R^2$).
$$Q = Av = \pi R^2 v \implies \frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{Q_1}{Q_2}\right)^{1/2} \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{1/2}$$
3) 속도비 ($\phi$) 활용 (주변속도와 유속의 관계)
수차의 주변속도($u$)는 회전수($N$)와 반경($R$)의 곱에 비례하며($u \propto NR$), 상사 기계에서는 주변속도와 유속의 비율(속도비)이 일정하다.
$$\frac{N_1}{N_2} \propto \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{v_1}{v_2}$$
4) 최종 비속도식 유도
위 관계식들을 조합하여 유량($Q$) 대신 출력($P$)과 낙차($H$)의 함수로 변환하면 다음과 같은 비속도 식을 얻는다.
$$\boxed{N_s = N \frac{P^{1/2}}{H^{5/4}} \quad [\text{m}\cdot\text{kW}]}$$
- $N$: 수차 정격회전수 [rpm]
- $P$: 수차 정격출력 [kW]
- $H$: 수차 정격 유효낙차 [m]